RIP

Rest In Peace, pro drsnější povahy s oblibou granátů a min potom Rest In Pieces, no a v našem případě Resistors In Paralel. Odpor R dvou rezistorů paralelně spojených odpovídá

$R=\frac{R₁·R₂}{R₁+R₂}$,

kde R₁ a R₂ jsou odpory paralelně spojených rezistorů. Stejnou věc lze zapsat pomocí operátoru $||$, tedy $R=R₁||R₂$. Ten operátor sám je poměrně užitečným, neb stejnou věc řešíme v rámci paralelně spojených cívek, či seriově spojených kondenzátorů.

1. Dva rezistory paralelně

Pochopitelně se to dá odvodit, předpokládejme nadále rezistory. Pro každý z paralelně spojených rezistorů bude platit $R₁=\frac{U₁}{I₁}$ a  stejně tak pro $R₂=\frac{U₂}{I₂}$, pro celkový vnější odpor bude platit $R=\frac{U}{I}$. Z kirchhoffova proudového zákona plyne, že součet proudů v uzlu je nulový, tedy $I-I₁-I₂=0$, tudíž $I=I₁+I₂$. Protože jsou rezistory paralelně, musí na nich být i shodné napětí, tedy $U₁=U₂=U$. Pokud by kterýkoliv z $R₁$ či $R₂$ by byl roven nule, tedy představoval by ideální zkrat, potom při paralelní kombinaci máme rezistor přemostěný ideálním zkratem, čili na vstupu máme opět zkrat, čili $R=0$. Ve všech ostatních případech, tedy $R₁≠0 \land R₂≠0$, mohu prohlásit, že $I₁=\frac{U}{R₁}$ a $I₂=\frac{U}{R₂}$. Předpokládejme tedy že i $R≠0$, nikde v tom systému není ideální zkrat a současně odpor z fyzikální podstaty není záporný, tedy mohu prohlásit též $I=\frac{U}{R}$. Tedy $\frac{U}{R}=\frac{U}{R₁}+\frac{U}{R₂}$, za předpokladu $U≠0$ mohu dělit $U$ a dostávám $\frac{1}{R}=\frac{1}{R₁}+\frac{1}{R₂}$. Vzhledem k předchozím předpokladům mohu celou rovnici násobit součinem $R·R₁·R₂$ a za předpokladu, že $R₁+R₂≠0$ (což předpokládat mohu, neb $R₁$ i $R₂$ jsou nenulové a současně kladné) mohu rovnici současně dělit součtem $ (R₁+R₂) $ za vzniku $R=\frac{R₁·R₂}{R₁+R₂}$.

2. Definice

Operátor $||$ tedy definujme jako odpor paralelní kombinace rezistorů, tedy bude platit, že $R₁||R₂=\frac{R₁·R₂}{R₁+R₂}$ pro $R₁,R₂≠0$, pro $R₁=0 \or R₂=0$ rovný nule bude $R₁||R₂=0$. Připouštím, že pokud je nulovým pouze jeden z rezistorů, vychází to díky neekvivalentním úpravám z vlastního předpisu, avšak jsou-li nulové oba, dostáváme se do situace $0/0$. Totéž by nastalo pro $R₁+R₂=0$, avšak to nemá fyzikální význam, protože odpor nemůže být záporným (pokud neutečeme do komplexního oboru při analýze střídavých signálů).

3. Vlastnosti

Abychom mohli výše definovaný operátor $||$ smysluplným způsobem v praxi používat, musíme vyšetřit některé jeho vlastnosti.

3.1. Komutativita

Operátor $||$ je komutativní pokud $a||b=b||a$ pro všechna $a,b$. Toto mnoho práce nedá, pro $a,b≠0$

Levá strana: $\frac{a·b}{a+b}$

Pravá strana: $\frac{b·a}{b+a}=\frac{a·b}{a+b}$

Levá i pravá strana je identická, čili pro $a,b≠0$ je operátor $||$ komutativní. Pokud bude $a=0 \or b=0$, bude i $a||b$ rovno z definice nule, tedy levá i pravá strana bude nulová, tím pádem vzájemně rovná, tudíž || je komutativní.

Podívejme se na fyzikální obraz, operátor definuje odpor paralelně spojených rezistorů, je zhola jedno který z nich označíme za první a který za druhý.

3.2. Asociativita

Operátor || je asociativní pokud $\forall a,b,c$ platí $(a||b)||c=a||(b||c)$. Nechť $a,b,c≠0$, potom:

Levá strana: $(a||b)||c = \frac{ab}{a+b}||c = \frac{\frac{ab}{a+b}·c}{\frac{ab}{a+b}+c} = \frac{\frac{abc}{a+b}}{\frac{ab+c(a+b)}{a+b}} = \frac{abc}{ab+ac+bc}$

Pravá strana: $a||(b||c) = a||\frac{bc}{b+c} = a·\frac{\frac{bc}{b+c}}{a+\frac{bc}{b+c}} = \frac{\frac{abc}{b+c}}{\frac{a·(b+c)+bc}{b+c}} = \frac{abc}{ab+ac+bc}$

Levá i pravá strana je opět identická, zbývá vyšetřit nulové odpory. Pokud bude libovolný z operandů nulový, bude z definice nulový i výsledek celé operace, čímž vstoupí nula do další operace, čímž opět způsobí nulu na  výstupu. Čili jakákoliv nulová hodnota na vstupu bude znamenat i nulovou celou stranu rovnice, čili obě strany budou opět identické, tudíž || je asociativní.

Opět to má i svůj fyzikální obraz, tři paralelní rezistory jsou stále tři paralelní rezistory, zhola jedno jak je mezi sebou proházíme.

3.3. Distributivita proti součtu

Pokud by operace $||$ byla distributivní proti součtu, chovala&by se prakticky stejně jako násobení a dalo by se s ní zacházet obdobně při úpravách. Tedy $||$ je distributivní proti součtu pokud $\forall a,b,c$ platí $a||(b+c)=(a||b)+(a||c) \land (b+c)||a=(b||a)+(c||a)$.

Nyni se podívejme na fyzikální obraz. Součet dvou odporů má obraz v seriově řazených rezistorech. Na levé straně tedy máme rezistor a paralelně řazený seriové kombinaci rezistorů $b$ a $c$. Pravá strana seriovou kombinaci dvou paralelně řazených kombinací rezistorů $a,b$ a $a,c$. Už na tomto je intuitivně vidět, že to nejspíše fungovat nebude, nicméně.

Pokud by $||$ byla distributivní proti součtu, musely by výše popsané rovnice platit pro všechna $a,b,c$, tedy i $a=1$, $b=2$, $c=3$.

Levá strana: $1||(2+3) = 1||5 = \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$

Pravá strana: $(1||2)+(1||3)=\frac{2}{3}+\frac{3}{4} = \frac{8+9}{12} = \frac{17}{12}$

Levá a pravá strana se v tomto konkrétním případě nerovná, aby byl operátor distributivní, musela by rovnost platit v každém bodě, tedy i v tomto konkrétním, kde viditelně neplatí, tudíž operátor || není distributivní proti součtu.

4. Důsledky, použití

Z komutativity plyne, že nezáleží na pořadí operandů, můžete je libovolně prohazovat, obdobně, máte-li několik rezistorů paralelně, je zhola jedno v jakém pořadí budete výpočet provádět, tudíž nemá smysl závorkovat. Avšak pokud se $||$ octne před závorkou ve které budou součty, definitivně nemůžete udělat to, co by bylo přípustné v případě, že by tam namísto $||$ byl součin, tj. „roznásobit“ závorku. To je důsledkem toho, že $||$ není distributivní, čili $||$ vyžaduje určitou obezřetnost v používání a patrně by se toho člověk měl zbavit při první vhodné příležitosti. Tímto si připravuji půdu pro budoucí článek, kde budu $||$ intenzivně používat, nicméně i s ohledem na fakt, že se $||$ v zahraniční literatuře používá poměrně běžně, kdežto v ČR se vyskytuje typicky pouze ve vysokoškolských skriptech, považuji za vhodné s touto věcí seznámit širší publikum abych předešla budoucím nehodám.

5. RIP (||) a kalkulačky

Každá trochu lepší kalkulačka má v dnešní době tuto funkci implementovánu. Vyjímkou jsou pouze stroje s algebraickým zadáním (a to ještě ne vždy), což s vyjímkou masochistů asi stejně nikdo příčetný používat nebude, nicméně implementace se liší. Typicky nedefinuje $||$ pro nulu. Ono to má dobrý důvod, zvláště pak v případě, kdy dojde na kalkulačky zvládající komplexní obor. Totiž s tímto opravdu můžete utéct do komplexního oboru a použít to na řešení střídavých systémů, kde to začne být ještě užitečnější, nicméně dokáže tam docházet ke škaredým věcem — odpor najednou může být záporný, velice snadno lze dosáhnout situace, kdy součet operandů bude nulový (například paralelní rezonanční obvod s ideálním kondenzátorem a ideální cívkou na rezonančním kmitočtu, zde se $ X_L=X_C $ ).

Takže tolik lehkého úvodu, sice jsem chtěla dnes zveřejnit něco jiného, bohužel tam právě používám $||$ a na zkušebních čtenářích jsem zjistila, že to chce nějaký úvod. Připadá mi to na jednu stranu stupidní napsat dlouhý článek o takto jednoduché věci, v původním článku jsem se vyhýbala asociativitě a předpokládala jsem, že komutativita je dostatečně intuitivní, ale bohužel, takhle to nefungovalo.

Update: Rozhodla jsem se něco udělat se sazbou matematiky, protože původní provedení bylo celkem meh a rukou psané poznámky to nevylepšovaly. Ono by nejrychlejší bylo napsat to rukou, nicméně on se na to nikdo nepodívá, protože nikoho nenapadne, že je to nedílná součást, nikoliv jen „nějaký obrázek“.