Výpočty s decibely
Výpočty s decibely
Abstrakt
Následující text se zabývá praktickými aspekty praktického používání jednotky dB. Soustředím se na vysvětlení základních pojmů a v závěru předvedu praktiky vhodné pro výpočty s omezenou přesností bez použití kalkulátorů. Článek neobsahuje nic převratného či objevného, je určen těm, kteří se v problematice příliš neorientují, navíc používám velice zdlouhavá odvození ve kterých mnohé zjevné kroky zcela zbytečně rozepisuji, což činím pouze s ohledem k těm, kterým chybí elementární praxe v matematice na urovni základní školy.
1 Co je dB
Decibel, typicky značený dB, je logaritmická poměrová jednotka, která vyjadřuje poměr mezi dvěma veličinami vyjadřujícími výkon. Předpona deci naznačuje poměr jedné desetiny k nějaké větší jednotce, v tomto případě desetinu vzhledem k desítkovému logaritmu poměru výkonu. Tedy převod mezi poměrem výkonů a poměrem výkonů vyjádřených v dB bude vypadat takto:
Převod obráceným směrem potom musí vypadat takto Dále si ukážeme jak bude situace vypadat v případě poměru napětí či proudu na konstantní zátěži. Z ohmova zákona víme, že Pro výkon platí, že tedy případně Pro poměr potom bude platit popřípadě a jelikož jsme na počátku definovali, že budeme vyšetřovat poměry výkonů toliko na konstantní zátěži, potom platí, že Užitím 7 a 9 lze dovodit, že tedy a obdobně lze z (8) a (9) dovodit, že Pro poměr výkonů vyjádřených v dB tedy bude z (1) a (11) platit tedy po úpravě A obdobně lze z (1) a (12) dovodit, že Původ oné „záhadné dvacítky” tedy tkví v tom, že poměr výkonů na konstantní zátěži odpovídá poměru čtverců napětí, alternativně poměru čtverců proudů. Obdobně jako v případě (2) potom platí, že případně Na tomto místě se omlouvám normálnímu publiku, matematika je popisovaná jako pro rádioamatéry, tudíž z toho i průměrnému idiotovi slézají nehty. Jediné, co je v tomto ohledu horší než rádioamatéři, jsou studenti učitelství matematiky Pedagogické fuckulty Masarykovy Univerzity v Brně.
2 Co je dBm, dBu, dBU, dBV, dBd a další drůbež
Jak jsem předeslala, dB je poměrová jednotka výkonu, tedy vyjadřuje poměr dvou výkonů, což dává smysl například na nějakém dvojbranu, kde se vyšetřuje výkonový poměr mezi vstupem a výstupem, v případě střídavých harmonických signálů
5
potom může být funkcí kmitočtu a hovoříme o zisku nějakého zesilovače, útlumu filtru atd. Avšak logaritmická podstata jednotky svádí k jejímu použití přímo k vyjadřování výkonu. Zde přichází ke slovu určité dodatky za jednotkou samou, které vyjadřují k jakému výkonu se vztahuje, čili vyjadřuje hodnotu z předchozích odvození vzhledem k nějaké známé . Vždy na dané konkrétní zátěži. Taková hodnota může být dána numericky, jako je tomu v případě dBm, kde , případně může být dána nějakou vlastností, jako je tomu například u , kde na dané zátěži. Též se může vztahovat k výkonovým poměrům v nějaké soustavě, jako je to v případě dBi, která vyjadřuje poměr výkonů v daném místě mezi vyzařováním vyšetřované antény a vyzařováním izotropního zářiče. No a potom jsou ještě jednotky idiotské, kdy namísto izotropního zářiče používají ideální dipol, alternativně ohýbají samu definici dB v případě takzvaného digitálního decibelu, což je hifistický vynález a upřímně řečeno, dokud jsem netušila, že toto existuje, bylo mi na světě lépe. Do výčtu nesmyslů bych zařadila ještě takzvaný čínský (wifinářský) decibel, který funguje úplně stejně jako ty běžné, jen logaritmus poměru výkonů násobí dvaceti, z čehož plyne, že logaritmus poměru napětí čtyřiceti. K původu bych dodala jedíné - čím víc pruhů, tím víc Adddidasss. Původně jsem chtěla výpis členit na jednotky definované numericky, potom jednotky definované k numericky definované vlastnosti a na ostatní, avšak používání některých obskurních variant je nežádoucí, proto jsem se rozhodla použít dělení na příčetné a idiotské.2.1 Příčetné varianty vyjadřující výkon
2.1.1 dBm
Patrně nejčastější varianta, vyjadřuje výkon v poměru k . Je nezávislá na impedanci zátěže, použití nepřináší žádné zásadnější problémy.
2.1.2 dBu, dBuV
Správněji by se mělo uvádět , avšak realita je trošičku jiná. Vyjadřuje poměr k výkonu mařenému na zátěži při dosažení napětí na stejné zátěži. Ono by se v podstatě dalo říct, že ta jednotka vyjadřuje napětí, avšak pozor, decibel se vždy vztahuje k výkonu. Ono to nepřináší zásadní problém dokud se nemění impedance zátěže, nebo řekněme systému, protože napětí a výkon jsou navzájem v poměru, byť v poměru druhé mocniny. Problémy začnou dělat impedanční konvertory. Současně z toho plyne, že vzájemný posun při převodu mezi dBm a dBu závisí na impedanci zátěže. Na tomto místě si ukážeme, jak se převod provádí.
Víme, že na zátěži se maří výkon a chceme jej vyjádřit pomocí . Z (2) tedy plyne, že a současně z (2), (5) a definice dBuV plyne, že tudíž z (18) a (19) plyne, že a tedy čímž se konečně dostáváme ke kýženému převodu a tedy čili v systému bude odpovídat . bude odpovídat , obdobně bude odpovídat . Pokud se ale budeme pohybovat v systému, který je typický pro audio, bude odpovídat atd. Obdobně lze odvodit i ostatní převody.
Preferuji používání symbolu dBuV namísto prostého dBu, které se mnohde používá. Ona ještě existuje ne úplně příčetná jednotka decibel unified, tedy dBU, přičemž chyba může být fatální. V prostředí, kde se dBU nevyskytuje, je patrně výhodnější použít kratší variantu a v dobách, kdy tato částečně nesmyslná jednotka neexistovala, se to tak opravdu používalo.
2.1.3 dBW, dBV
Jsou ekvivalentní dBm potažmo dBuV, jen coby základ používají a . Převod je v obou případech poměrně snadný, protože se jedná o pouhé řádové posuny, avšak v případě dBV je třeba si uvědomit, že je definovaná z napětí, přičemž výkon se mění se čtvercem napětí. Takže přestože mezi a je rozdíl toliko šesti řádů, jsou tyto jednotky navzájem posunuty o přestože posun mezi dBm a dBW odpovídá třem řádům mezi a , tedy .
Obé se dá opět velice jednoduše ukázat v podstatě stejně, jako v předcházejícím odvození. Z (2) plyne, že Povšimněte si, že v tomto případě nikde nevystupuje impedance zátěže. Následně tedy platí, že což bylo ukázat. V případě dBV a dBuV budeme postupovat obdobně, tedy. což bylo ukázat.
2.1.4 dBi - zisk proti izotropnímu zářiči
V tomto případě není referencí nějaká daná numerická hodnota výkonu, dokonce ani hodnota ekvivalentní k nějakému numericky danému základu, zde se používá přímo model izotropního zářiče, přičemž hodnota vyjadřuje poměr mezi budicím výkonem vyšetřované antény a výkonem, kterým by bylo nutno budit izotropní zářič, aby se v daném směru dosáhlo stejné intenzity pole ve stejné vzdálenosti. Vysvětlení modelu izotropního zářiče přesahuje rozsah tohoto pojednání.
2.2 Jednotky problematické až veskrze nenormální
Jedná se o extenze jednotky dB o určité úzce oborově vázané záležitosti, jejich použití je problematické a nedoporučuji je používat pakliže k tomu není dobrý důvod.
2.2.1 dBd, dB - zisk proti ideálnímu dipolu
Je definovaný podobně jako dBi, jen se uvažuje výkon nutný dodat do ideálního dipolu orientovaného do stejného směru svým maximem. Problematičnost té jednotky tkví právě ve směrovosti dipolu. Zisk ideálního dipolu v jeho maximu je , čili jediné, co ta jednotka reálně přináší, jsou čísla zmenšená o doplněná o možnost určitého zmatení plynoucí ze směrovosti dipolu. Komplikace bez přínosu, nic víc.
Poznámka na okraj. Mezi rádioamatéry panuje přesvědčení, že dBi je proti dBd preferováno z toho důvodu, že zisk je větší číslo a tudíž to v propagačních materiálech vypadá lépe. Z výše uvedeného je zřejmé, že je to nesmysl.
Druhá poznámka na okraj. Označení dBd se občas zapisuje jako dBD, které koliduje s označením digitálního decibelu, což je jednotka na samé hranici (možná i za hranicí) nesmyslnosti.
2.2.2 dBU - unifikovaný decibel
Jednotka je definována dvěma navzájem neslučitelnými způsoby. Obě jsou podobné definici dBV, avšak první varianta se vztahuje k výkonu na zátěži na které je dosaženo napětí ekvivalentním napětí na zátěži při výkonu . Připouštím, že ta definice je poměrně nejasná, nicméně dá se zjednodušit do podoby, kdy udává poměr výkonu k výkonu na stejné zátěži při napětí . Pro dosažení většího zmatení kolují světem i definice vztahující se k napětí , což viditelně vzniklo zaokrouhlením výše uvedeného, avšak představuje to chybu na třetím místě. V systému, což je v podstatě norma pro audio, bude platit, že , čili jednotka prakticky nic nepřináší. Ve všech ostatních systémech přináší toliko zmatení. V podstatě jde o snahu vyjádřit napětí v logaritmických jednotkách podobně jako v případě dBuV či dBV.
2.2.3 dBFS - decibel full scale, dBO, dBov - decibel overload
dBFS vyjadřuje poměr výkonu k výkonu, při kterém A/D převodník vrátí hodnotu při vyjádření ve dvojkovém doplňku. Jednotka je striktně vázána na digitální systémy a odpovídá číslicovému vyjádření vzorkovaného signálu. Ač původem utekla z číslicového audia, má určitý smysl i u systémů DSP počítajících v plovoucí čárce. Obdobně je definovaná i jednotka dBO, kde se vyjadřuje poměr výkonu k výkonu, při kterém dochází k přetížení. Obě jednotky jsou silně zavádějící, protože ze své podstaty pracují se špičkovým výkonem, nebo spíše napětím, zatímco decibel sám je definován nad efektivním výkonem. Pokud se s takovou jednotkou setkáte, doporučuji zvýšenou opatrnost v tom smyslu, že je třeba zjistit co přesně tou jednotkou autor dané publikace míní. Občas to bývá nekonzistentní napříč publikací.
2.2.4 dBD - digitální decibel
Reference je definovaná stejně jako u dBFS, ale používá se logaritmus při základu , tedy Tato jednotka tedy s decibelem nemá v podstatě nic společného. Smyslem snad má být indikovat binární řád, čili například kvantovací šum 16bitového A/D převodníku bude , nicméně smysl té jednotky mi uchází a uvádím ji toliko jako veliký bizar a naprostou kuriozitu. Navíc tu hrozí kolize s jednotkou dBd. Původ je v audiu, kde má kořeny spousta kuriozit.
3 Přibližný převod dBm na W bez složitých výpočtů
Udávat výkon v dBm má bezesporu svoje výhody. Používají se jednak menší čísla, ale především se s nimi snadno počítá. Například, budu-li signálem budit zesilovač se ziskem , bude na jeho výstupu . Problém nastává při převodu dBm na W, ovšem nikoliv zásadní. Z (1) plyne, že zisk znamená desetinásobek, stonásobek, tisícinásobek atd. Obdobně lze postupovat i obráceně, tedy je desetina, je setina, je tisícina atd. Tedy dává smysl oddělit z hodnoty cifru na místě jednotek a vše, co je před ní, považovat za řád. dBm se vztahují k , tedy
Není tedy problém orientovat se řádově, zbývá tedy dekodovat poslední cifru. Ta může nabývat hodnot 0..9, přičemž z (1) se opět dá odvodit, že dvojnásobnému výkonu bude odpovídat zisk . Obdobně se lze dopracovat i k čtyřnásobku (dvakrát dvojnásobek) v podobě a osminásobku v podobě . Stejný princip lze použít i opačným směrem, kde polovina odpovídá . Z předchozího víme, že odpovídá desetinásobku, čili bude polovina z desetinásobku, čili pět. Obdobně můžeme dovodit jako čtvrtinu z desetinásobku, čili dva a půl násobek a stejně tak můžeme dovodit i jako osminu desetinásobku, čili 1.25 násobek. Čili s pouhou znalostí toho, že odpovídají dvojnásobku tedy dokážeme dekodovat cifry 0, 3, 6, 9, 7, 4, 1. Zbývá nám tedy 5, 2 a 8. Chybějící cifry poskytují určitou naději, tedy , jedná se tedy o polovinu z ekvivalentu a , tedy dvojnásobek z ekvivalentu . Zbývá tedy určit kolikanásobek je , což můžeme poměrně snadno udělat (2). . To my dříve narození umíme odmocnit z hlavy a dostaneme se k něčemu jako , mladší se k tomu dostanou v několika iteracích, kdy si uvědomí, že , tedy ono to bude o něco víc než , tedy zkusí , což je pořád málo, tak tedy , což už je moc, ale je to k těm blíž než , takže to patrně bude lepší výsledek, tedy prohlašme, že odpovídá 3.2 násobku. tedy budou odpovídat polovině, čili násobku, no a bude odpovídat dvojnásobku, čili násobku, čímž máme vyřešeny všechny poslední cifry. Jedná se o přibližný převod, čili nemá smysl zabývat se desetinami a setinami dB, ty prostě zaokrouhlíme.
Příklad. Převeďte na výkon ve wattech. Ignorujeme poslední cifru, dostáváme , což odpovídá výkonu . My máme , což bude o něco víc. V tomto případě bude lépe postupovat z druhé strany, tedy , tedy z , což je .
Jiný příklad. Převeďte na výkon ve wattech. Opět ignorujeme poslední cifru, dostáváme , což je . My ale máme o více, čili což odpovídá dvakrát dvojnásobku, čili čtyřnásobku, no a čtyřnásobek ze je .
Pochopitelně můžeme postupovat i obráceně. Legální limit pro amatérskou stanici jsou . Vyjádřete tuto hodnotu v dBm. Základem bude v našem případě , My máme zhruba trojnásobek, což je trochu více než dvojnásobek, dokonce je to více než čtvrtina desetinásobku, čili to bude více než , současně je to trochu méně než 3.2 násobek, nicméně je to k němu blíže, čili můžeme prohlásit, že .
Jiný příklad téhož. Vysilač má výkon . Vyjádřete tuto hodnotu v dBm. Tady se řešení přímo nabízí, je polovina ze , čili výsledkem je .
4 Závěrem
Kolem decibelů a odvozených jednotek panuje v České Republice veliké zmatení. Snažila jsem se celou problematiku zjednodušit, avšak současně nepřekročit mez pochopitelnosti. Přílišná zjednodušení vedou k nepochopitelnosti prezentované problematiky, příkladem nám budiž středoškolská matematika a fyzika, která prošla tak masivním zjednodušením, až se stala zcela nepochopitelnou. Nemám však pedagogického vzdělání či nadání, proto žádám čtenářstvo o určitou shovívavost, jistě jsem se ve výkladu dopustila mnoha chyb a prohřešků. Současně jsem sestoupila na středoškolskou úroveň - střední škola je institut, který učí své studenty blufovat na dané téma tak, aby to nebylo vyloženě do očí bijící. V těchto intencích prosím vnímejte předložený článek. Smyslem bylo toliko ukázat některé odvozené jednotky, včetně těch méně příčetných, dále pak jejich vzájemný vztah. Poslední kapitolu prosím berte poněkud s nadhledem, byla toliko snahou zasadit ona čísla do nějakého reálného obrazu světa a přiřadit jim nějaký význam či rozměr.
Komentáře
Okomentovat